O problema de encontrar os n pesos e n abscissas é equivalente a um sistema não linear com 2 n equações e 2 n incógnitas. Pode-se mostrar que este problema sempre tem solução e que a solução é única se t 1 Os nós x j são dados pelos zeros do polinômio de Legendre, P n ( t ) . Os pesos são dados por w j = 2 1 − t j 2 [ P n ′ ( t j ) ] 2 . (9.203) Solu ç ã o. A aproximação desta integral usando o método de Gauss-Legendre consiste em computar I = ∫ − 1 1 f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n w i f ( t i ) , (9.205) deff(’y=f(x)’,’y=sqrt(1 + x^2)’) //G-L n=2 x2 = sqrt(3)/3 w2 = 1 I2 = w2(1)*f(x2(1)) + w2(1)*f(-x2(1)) disp(I2) //G-L n=3 x3 = [0 -sqrt(3/5) sqrt(3/5)] w3 = [8/9 5/9 5/9] I3 = w3(1)*f(x3(1)) + w3(2)*f(x3(2)) + w3(2)*f(-x3(2)) disp(I3) //G-L n=4 x4 = [sqrt((3-2*sqrt(6/5))/7) sqrt((3+2*sqrt(6/5))/7)] w4 = [(18+sqrt(30))/36 (18-sqrt(30))/36] I4 = w4(1)*f(x4(1)) + w4(1)*f(-x4(1)) . + w4(2)*f(x4(2)) + w4(2)*f(-x4(2)) disp(I4) //G-L n=5 x5 = [0 1/3*sqrt(5-2*sqrt(10/7)) 1/3*sqrt(5+2*sqrt(10/7))] w5 = [128/225 (322+13*sqrt(70))/900 (322-13*sqrt(70))/900] I5 = w5(1)*f(x5(1)) + w5(2)*f(x5(2)) + w5(2)*f(-x5(2)) . + w5(3)*f(x5(3)) + w5(3)*f(-x5(3)) disp(I5) Quando subdividimos o intervalo inicial [ a , b ] em N intervalos com extremos [ x i , x i + 1 ] a transformação torna-se x ̄ i = α t i + β , α = ( x i + 1 − x i ) ∕ 2 , β = ( x i + 1 + x i ) ∕ 2 (9.208) Solu ç ã o. Para tanto, fazemos a mudança de variáveis u = 2 x − 1 : I = ∫ 0 1 1 + x 2 d x = 1 2 ∫ − 1 1 1 + u + 1 2 2 d u .
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